Počet záznamů: 1

# General Dirichlet Series, Arithmetic Convolution Equations and Laplace Transforms

1. 1. 0326688 - UIVT-O 2010 RIV PL eng J - Článek v odborném periodiku
Glöckner, H. - Lucht, L.G. - Porubský, Štefan
General Dirichlet Series, Arithmetic Convolution Equations and Laplace Transforms.
[Obecné Dirichletovy řady, rovnice s aritmetickou konvolucí a Laplaceovy transformace.]
Studia mathematica. Roč. 193, č. 2 (2009), s. 109-129 ISSN 0039-3223
Grant CEP: GA ČR GA201/07/0191
Výzkumný záměr: CEZ:AV0Z10300504
Klíčová slova: arithmetic function * Dirichlet convolution * polynomial equation * analytic equation * topological algebra * holomorphic functional calculus * implicit function theorem * Laplace transform * semigroup * complex measure
Kód oboru RIV: BA - Obecná matematika
Impakt faktor: 0.645, rok: 2009
http://arxiv.org/abs/0712.3172

In an earlier paper, we studied solutions g to convolution equations of the form a_d*g^{*d}+a_{d-1}*g^{*(d-1)}+...+a_1*g+a_0=0, where a_0, ..., a_d are given arithmetic functions associated with Dirichlet series which converge on some right half plane, and also g is required to be such a function. In this article, we extend our previous results to multidimensional general Dirichlet series of the form \sum_{x\in X} f(x) e^{-sx} (s in C^k), where X is an additive subsemigroup of [0,\infty)^k. If X is discrete and a certain solvability criterion is satisfied, we determine solutions by an elementary recursive approach, adapting an idea of Feckan. The solution of the general case leads us to a more comprehensive question: Let X be an additive subsemigroup of a pointed, closed convex cone C in R^k. Can we find a complex Radon measure on X whose Laplace transform satisfies a given polynomial equation whose coefficients are Laplace transforms of such measures?

V předchozí práci jsme studovali řešení g konvoluční rovnice typu a_d*g^{*d}+a_{d-1}*g^{*(d-1)}+...+a_1*g+a_0=0, kde a_0, ..., a_d jsou dané aritmetické funkce asociované s Diricchletovou řadou, která konverguje v jisté pravé polorovině, přičemž se vyžaduje, aby g byla též funkce s takovouto vlastností. V této práci rozšiřujeme naše předchozí výsledky na mnohorozměrné Dirichletovy řady tvaru \sum_{x\in X} f(x) e^{-sx} (s in C^k), kde X je aditivní pologrupa v [0,\infty)^k. Určíme rekuzivně všechna řešení úpravou Fečkanovy myšlenky, za předpokladu, že X je diskrétní a jsou splněny jisté podmínky řešitelnosti. Řešení obecného případu vede na komplexnější problém: Nechť X je aditivní pologrupa redukovaného konvexního kužele C v R^k. Je možné nalézt komplexní Radonovu míru na X takovou, že její Laplaceova transformace splňuje danou polynomickou rovnici, koeficienty které jsou Laplaceovými transformacemi takovýchto měr?