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Bolzano’s Theory of meßbare Zahlen: Insights and Uncertainties Regarding the Number Continuum

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Handbook of the History and Philosophy of Mathematical Practice

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Abstract

During the first half of the 1830s, and as part of his project for a Größenlehre, Bernard Bolzano worked on a manuscript entitled Reine Zahlenlehre in which he introduced the notion of what he called “meßbare Zahlen.” The various additions and corrections to its three extant versions are evidence of an unfinished work, the definitive edition of which was not published until 1976. The present chapter casts light upon the links between, on the one hand, his theory of “measurable numbers” and its conceptual framework, and, on the other hand, his insights and uncertainties with regard to the notions of number and quantity prior to the writing of that work. While Bolzano’s proposal has usually been considered as an attempt at a theory of what nowadays is called the real-number continuum, this chapter shows that a more faithful reading must consider it as a pioneering and transitional theory of the number continuum which provided relevant insights into this latter but which remained, nonetheless, still bound to a not-yet-modern conception of mathematics and numbers.

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Notes

  1. 1.

    (Wolff 1716, p. 863): “Ist eine Wissenschafft alles auszumessen, was sich ausmessen läst. Insgemein beschreibet man sie per scientiam quantitatum, durch eine Wissenschafft der Größen, das heisset, aller derjenigen Dinge, die sich vergrössern oder verkleinern lassen.”

  2. 2.

    (Dedekind 1876, p. 284): “l’Arithmétique doit être maintenue exempte de tout mélange d’éléments étrangers.”

  3. 3.

    For a detailed account of the publication of RZ and its reception throughout the second half of the twentieth century, cf. (Spalt 1991, pp. 16–24; Russ 2004, pp. XX & 348). According to two letters written by Bolzano in the early 1840s and quoted by Eduard Winter, Bolzano resumed work on his project on mathematics between mid-1840 and mid-1841 (cf. Winter 1933, pp. 215–216).

  4. 4.

    Founded by Jan Berg, Friedrich Kambartel, Jaromír Louzil, Bob van Rootselaar and Eduard Winter, and currently edited by Edgar Morscher, the BBGA comprises some introductory volumes (Einleitungsbände) and, up to the present day, about 100 published volumes divided into four series: (I) Schriften, the “works published during Bolzano’s lifetime”; (II) Nachlaß, his “posthumous works” (subpart A) and his “scientific diaries” (subpart B); (III) Briefwechsel, his correspondence with various correspondents; and (IV) Dokumente, which includes various documents ranging from portraits and biographies to documents on Bolzano’s trial (https://www.frommann-holzboog.de/editionen/20?lang=de). All references to volumes of the BBGA, therefore, contain: (a) the initials BBGA; (b) the letter “E” (for the introductory volumes) or the number of the series (1–4) and, in the case of the Reihe II, the subpart letter (i.e., 2A or 2B); and (c) the volume number and, in some cases, the supplement number.

  5. 5.

    (Epple 1996, pp. 3 & 1): “Ende des Paradigmas der Größenlehre”; “bewegten Atmosphäre.”

  6. 6.

    (LA PNP, C II 14/2, [2r] & [4v]): “Die Größe ist das, was einer Vermehrung, oder einer Verminderung fähig ist”; “Zahl ist eine Menge von Dingen einerley Art.” LA PNP is the abbreviation for the Literární archiv Památníku národního písemnictví (Literary Archive of the Museum of National [Czech] Literature), in Prague, where Bolzano’s notes are preserved.

  7. 7.

    The above-cited definitions can be found almost verbatim in (Kästner 1786, pp. 1 & 21). I refer to the fourth edition of Kästner’s work since it is the one which is known, with certainty, to have been available at the time at Prague’s Public and University Library, which eventually became the National Library of the Czech Republic (cf. Catalogus Mathematicorum IX A 19 1781ff., p. 130[r]).

  8. 8.

    (Bolzano 1804, pp. 3–4; cf. Russ 2004, p. 37): “Größe heißt ein Ding, insofern es angesehen wird als bestehend aus einer Anzahl (Vielheit) von Dingen, die der Einheit (oder dem Maße) gleich sind.” The title of Bolzano’s work is Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie.

  9. 9.

    (ČG Publicum 1796–1805 98/755, p. [13v]): “hebt die Schwierigkeit nicht im Grunde; sondern entrückt sie nur dem Auge, nicht aber dem Verstande.” For a detailed account of Bolzano’s examination, as well as its transcription and English translation, cf. (Fuentes Guillén and Crippa 2021).

  10. 10.

    The title of Bolzano’s work is Beyträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik. This was the first installment (Lieferung) of that work, the second—and unfinished—installment of which was reconstructed by Jan Berg, based on two versions, and not published until 1977 in BBGA 2A5.

  11. 11.

    (Bolzano 1810, p. 30): “das Unendliche, oder das Differenzial, nichts anders als ein symbolischer Ausdruck sey, gerade wie \( \sqrt{-1} \), dgl.”

  12. 12.

    A noteworthy precedent here may possibly be found in Lambert, who in a letter to Kant, dated October 13, 1770, wrote: “The sign \( \sqrt{-1} \) represents an unthinkable non-thing. And yet it can be used very well in finding theorems” (Zweig 1999, p. 118). It is worth mentioning that it had been only a short time before, in 1767/1768, that Lambert had composed and published his famous Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques, in which he seems to avoid the use of imaginaries (cf. Lambert 1761/1768, p. 319; Barnett 2004, pp. 24–25). I am grateful to Eduardo Dorrego López for bringing this to my attention.

  13. 13.

    (BBGA 2A5, p. 61 & fn. r): “Wenn zu einer Zahl noch 1 hinzugedacht wird, entsteht eine neue Zahl”; “Wenn 2 Zahlen zusammengedacht werden, entsteht eine neue Zahl.” The title of the note is Von den Eigenschaften der Zahlen.

  14. 14.

    (BBGA 2B6/2, p. 195): “alle diese Prädicate beziehen sich meiner Ansicht nach auf Größen.”

  15. 15.

    (BBGA 2B6/2, p. 195): “ist eine Größe, für welche die Regel sie durch Zahlen zu bestimmen, zwar gegeben ist, aber eine nie zu beendigende Operation erfordert”; “als man nur immer will.”

  16. 16.

    (BBGA 2B6/2, p. 196): “Regeln (Arten)”; “Man sehe irgend eine Potenz der 10 als Nenner an, und suche dazu die möglichst größte Zahl, welche als Zähler betrachtet einen Bruch gibt, dessen Quadrat kleiner als 2 wäre”; “man sehe irgend eine Potenz der 10 als Nenner an, und suche dazu die möglichst kleinste Zahl, welche als Zähler betrachtet einen Bruch gibt, dessen Quadrat größer als 2 wäre.”

  17. 17.

    This procedure could be rooted in the successful use of continuous fractions, by means of which approximations of irrationals, both by excess and by default, could be provided. For a detailed account of continuous fractions at the time, as well as a historical sketch of their use, cf. (Klügel 1808, pp. 43–87; cf. also Dorrego López and Fuentes Guillén, forthcoming).

  18. 18.

    (BBGA 2B7/1, p. 35): “Irrationale, transcendente Größen”; “sind die irrationalen Größen das für die Zahlen (Arithmetik), was die transcendenten für die Functionen, die endlichen, d.h. algebraischen Functionen, (Algebra) sind”; “durch keine endliche Menge von Zahlen ausgedrückt werden kann; so kann [...] durch keine endliche Menge von Potenzen und Producten ausgedrückt werden.”

  19. 19.

    (BBGA 2B7/1, p. 35): “In Ansehung beyder aber werfe ich die Frage auf: ob man ihre Erklärung nicht dadurch bedeutend verkürzen könnte, daß man statt ihren Werth durch zwey Grenzgrößen [...], zu bestimmen vielmehr nur eine einzige gebrauchte”; “beständige Größe, der die veränderliche X, welche durch eine Regel entsteht, die eine beliebig »zu vermehrende Anzahl von Wiederholungen einer und derselben Operation enthält, so nahe kommen »kann, als man nur immer will.” It should be noted that, immediately afterward, Bolzano wrote that “however, sometimes one has to use another quantity Y as a help.”

  20. 20.

    (van Rootselaar 1995, pp. 27–28): “sie ergibt ein Mittel zu entscheiden, ob eine vorgegebene Größe meßbar sei. Es ist kein Mittel, eine meßbare Größe zu konstruieren. Für Bolzano sind die Größen schon da, man muß sie nur durch Zahlen bestimmen.”

  21. 21.

    (BBGA 2B7/1, p. 68): “kann ich noch immer nicht ins Reine kommen”; “bezeichnen eine Art von Nichts”; “sie doch wesentlich verschieden sind.”

  22. 22.

    The title of Bolzano’s work is Der binomische Lehrsatz, und als Folgerung aus ihm der polynomische, und die Reihen, die zur Berechnung der Logarithmen und Exponentialgrößen dienen, genauer als bisher erwiesen.

  23. 23.

    (Bolzano 1816, p. 76): “\( {\left(1+x\right)}^{\frac{n}{m}} \) dem Werthe (1 + x)i so nahe, als man will.”

  24. 24.

    It should be noted, firstly, that in the original the superscript in Ω2 is placed at the top and that, as Steve Russ wrote, “[a]s often the case with Bolzano, these superscripts only distinguish, they are not powers” (Russ 2004, p. 349). Secondly, in the printed version the substitution of \( 1+\frac{n}{m}x \) by 1 + ix appears as “1” (cf. Bolzano 1816, p. 77).

  25. 25.

    (Bolzano 1816, pp. 143–144; cf. Russ 2004, p. 247): “wenn eine negative Größe auf eine Potenz mit irrationalem Exponenten erhoben werden sollte”; “imaginäre[n] Ausdrücke”; “Irrationalität einer Größe.”

  26. 26.

    Indeed, in his early mathematical works (1804–17) Bolzano only once used the expression “irrational[e] Zahl,” namely in the formulation of one of the last problems in his 1816 work, in the solution of which, however, he again referred to irrational quantities (Bolzano 1816, p. 137).

  27. 27.

    The full title of Bolzano’s work is Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, daß zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege.

  28. 28.

    (Bolzano 1816, p. V): “schon kleiner seyn soll[en], als eine jede [...] angebliche d. h. gedenkbare Größe”; “die kleiner als jede gegebene werden können.”

  29. 29.

    (Bolzano 1816, pp. IV & XI): “versuchte Berechnung des Unendlichen”; “selbst widersprechenden.”

  30. 30.

    (Bolzano 1816, p. 15): “algebraische Summe oder Differenz”; “(endliche) Menge.”

  31. 31.

    (BBGA 2B7/1, p. 79): “man zu jedem schon angenommenen ein noch kleineres (größeres) annehmen kann.”

  32. 32.

    The title is “Uiber den Begriff der Größe und die verschiedenen Arten derselben.”

  33. 33.

    (BBGA 2A5, p. 191): “nur dasjenige, was die Mathematiker gewöhnlich eine ganze Zahl nennen, den Nahmen einer wahren Zahl verdiene”; “sind eigentlich nicht Zahlen, sondern Größen, oder nicht einmahl diese.”

  34. 34.

    (BBGA 2A5, p. 191): “gewöhnlichen Sprachgebrauch”; “die Unrichtigkeit desselben [...]erkannt”; “auch wirklich befürchten mußte, hiedurch ganz unverständlich zu werden.”

  35. 35.

    (BBGA 2A5, p. 199): “Größe (Quantum) heißt jede Ding X, so fern es irgend eine Eigenschaft besitzt, in Betracht deren ein anderes M, das Maß genannt, sich zu X so verhält, wie sich zwey theilbare Dinge derselben Art verhalten, deren eines die Einheit, das andere ein arithmetisch bestimmbares Ganze N ist, d.h. ein Ding, von dem eine Regel angeblich ist, nach welcher man bey jeder beliebigen Menge gleicher und aliquoter Theile, in die man die Einheit zerlegt, bestimmen kann, wie viele dergleichen in N enthalten sind.” This passage makes it clear that, at least in the case of Bolzano, the appropriate translation for “Größe” is “quantity” and not “magnitude” (from the Latin magnitūdō).

  36. 36.

    (BBGA 2A5, p. 199): “X werde (bey dem Maße M) durch N gemessen”; “die Zahl, welche die Größe von X ausdrückt”; “sehr uneigentlich”; “Nur in den seltensten Fällen ist N eine wirkliche Zahl; wohl aber ist es jederzeit etwas durch Zahlen (mehrere, oft selbst unendlich viele) Bestimmbares.”

  37. 37.

    (BBGA 2A5, p. 208): “der Begriff der Größe jenen der Zahl als ein Merkmahl.”

  38. 38.

    The full title of Bolzano’s work is Paradoxien des Unendlichen herausgegeben aus dem schriftlichen Nachlasse des Verfassers von Dr. Fr. Příhonský.

  39. 39.

    (Bolzano 1851/1920, p. 21): “alle Zahlen zugleich auch Größen, sondern es gibt noch weit mehr Größen als Zahlen, weil auch die Brüche \( \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\dots .. \), ingleichen die sogenannten irrationalen Ausdrücke \( \sqrt{2},\sqrt[3]{2},\dots ..\pi, e,\dots .. \) Größen bezeichnen.”

  40. 40.

    Concerning the translation of “gegenstandlos” as “objectless” (gegenstand-los), it is worth noting, as Russ does, that Bolzano uses it “in contrast to gegenständlich meaning, of an idea, that it does have objects associated with it” (Russ 2004, p. XXIX).

  41. 41.

    Here Bolzano acknowledges Martin Ohm for “having been the first who drew the attention of the mathematical public to the difficulties in the concept of zero” (Bolzano 1851/1920, p. 55). Interestingly, in the work to which Bolzano refers, Ohm stated that “so würde die 0, als benannte Zahl gedacht, Nichts vorstellen,” having established before that a “benannte Zahl” would be “diejenige Zahl, bey welcher wir uns eine völlig bestimmte und genannte Einheit denken,” so that “[e]ine Größe A wird gemessen, wenn man sie als eine benannte Zahl aE ausdrückt, oder doch die Elemente findet, aus denen diese benannte Zahl aE leicht gebildet werden kann” (Ohm 1828, pp. 48–49).

  42. 42.

    Bolzano noted that 0 should only be used as divisor in identity equations, such as \( \frac{A}{0}=\frac{A}{0} \) (Bolzano 1851/1920, pp. 57–58).

  43. 43.

    (Bolzano 1851/1920, p. 67; Russ 2004, p. 639): “als einen Quotienten von dx in dy, sondern nur eben für ein Symbol der abgeleiteten von y nach x.”

  44. 44.

    (Bolzano 1851/1920, pp. 69 & 71): “nicht als Zeichen wirklicher Größen, sondern sie vielmehr als der Null gleichgeltend betrachten”; “ganz ähnlichen Grundsätzen”; “sogenannten imaginären Größen.”

  45. 45.

    (Bolzano 1851/1920, pp. 64 & 69): “meistens ganz richtige Ergebnisse”; “wichtige Wahrheiten der allgemeinen Größenlehre.”

  46. 46.

    The title is Einleitung in die Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre.

  47. 47.

    In 1810 Bolzano defined mathematics as “eine Wissenschaft [...], die von den allgemeinen Gesetzen (Formen) handelt, nach welchen sich die Dinge in ihrem Daseyn richten müssen” (Bolzano 1810, p. 11). For Paola Cantù, referring to Bolzano’s Größenlehre, “[i]t is exactly for the sake of generality that Bolzano abandons the previous definition of mathematics and modifies the meaning of ‘Größe’ from quantity to quantity in general, as it was common in the tradition of the mathesis universalis” (Cantù 2014, p. 313).

  48. 48.

    (BBGA 2B12/1, p. 132): “Mathematik ist mir jetzt wieder nur Größenlehre, und zerfällt zunächst in die reine und angewandte.” The title of Bolzano’s note is “Begriff und Eintheilung der Mathematik.” For an earlier note of Bolzano on this subject, cf. (BBGA 2B2/1, p. 23).

  49. 49.

    (BBGA 2A7, p. 25): “eine Wissenschaft der Größen”; “eine der wichtigsten mathematischen Disciplinen.”

  50. 50.

    (BBGA 2A7, p. 34): “aller übrigen Größen”; “wo (wie wir in diesem Buche selbst zu thun gesonnen sind) die Eigenschaften der Zahlen untermischt mit den Eigenschaften, die allen Größen gemeinschaftlich, ingleichen auch mit solchen, die nur gewissen anderen Arten (z.B. den irrationalen) Größen zukommen, abgehandelt werden.”

  51. 51.

    (BBGA 2A7, pp. 25–26): “als gehörig zu einer solchen Art von Dingen betrachten, deren je zwei immer nur eines von folgenden zwey Verhältnissen gegen einander behaupten können: sie müssen entweder einander gleich seyn, oder das Eine derselben muß einen dem andern gleichen Theil enthalten.” Bolzano was to go back to the principle of trichotomy in his theory of measurable numbers (BBGA 2A8, pp. 136–137 & 139; cf. Rychlík 1962, p. 5 & 56–59; Berg 1990, p. 151).

  52. 52.

    (BBGA 2B11/2, pp. 22–23): “eine Größe ist ∞groß, wenn jede Zahl ein Theil von ihr; und ∞klein, wenn sie ein Theil von jedem Bruch ist oder wie man sagt < als jeder Bruch”; “\( \sqrt{-1},\sqrt{-2},\mathrm{etc} \) sind Beschaffenheiten, die durch Zahlen 1, 2… bestimmt werden; obgleich Beschaffenheiten, die keinen wirklichen Gegenständen zukommen können”; “unermeßlichen Größen.” This note is entitled “Begriff der Größe,” dated September 1.

  53. 53.

    (BBGA 2B11/2, p. 86): “Die Größe ist ein Inbegriff von Theilen, zwischen deren je zweyen, die einander nicht gleich sind, das Verhältniß Statt hat, daß der Eine derselben einen dem anderen gleichen Theil enthält.” This note is entitled “Begriff einer Größe” and is dated March 10, 1823.

  54. 54.

    (BBGA 2B11/2, p. 86): “einer Größe oder vielmehr eines Größenausdrucks (einer Größenvorstellung).” I opted to translate “Vorstellung” by the term “idea,” and not “representation,” in order to emphasize its mental character and, at the same time, to distinguish it from “Darstellung,” which can be associated with a “representation” by signs (cf. BBGA 2A8, p. 22). For a detailed account of “Vorstellung” in the work of both Kant and Bolzano, cf. (Rusnock 2000, p. 102ff.).

  55. 55.

    (BBGA 2B11/2, p. 91): “Sollte man denn nicht einfacher sagen können: Eine Größe (in abstracto) sey eine solche Beschaffenheit einer Sache, welche bestimmbar ist durch den Gedanken einer Summe, d.h. durch den Gedanken eines Inbegriffs von Theilen, bei welchen auf keine Ordnung unter denselben gesehen wird?” This note is entitled “Begriff der Größe” and it is not dated.

  56. 56.

    (BBGA 2B12/1, pp. 84–85): “Der Lehrsatz, daß Faktoren mit veränderter Ordnung einerlei Produkt geben”; “Irrationalgrößen”; “\( i=\frac{m}{n}+\omega \) wo m, n ganze Zahlen, und ω so klein werden kann, als man nur immer will”; “sind nähmlich gar keine wirklichen Größen, sondern nur Zeichen, die nach denjenigen Regeln, welche für alle reellen Größen gelten erhalten worden sind.”

  57. 57.

    (BBGA 2B12/1, p. 103): “Imaginäre Größen”; “Größenbegriffe”; “deren es keine gibt.”

  58. 58.

    The title is “Von dem Begriffe, den allgemeinsten Beschaffenheiten und der Bezeichnungsart der Zahlen.”

  59. 59.

    (BBGA 2A8, p. 15): “die natürliche Reihe der Zahlen, oder mit Einigen auch die Reihe der natürlichen Zahlen.”

  60. 60.

    (BBGA 2A8, pp. 18–21): “eine jede Vorstellung von der Form: »Eine Zahl, welche die Beschaffenheiten b′, b′′, b′ ′ ′…hat,« verstehen wollen, gleichviel ob diese Beschaffenheiten bei einer Zahl in der That vereinigt angetroffen werden können oder nicht; d.h. gleichviel ob diese Vorstellung einen wirklichen Gegenstand hat oder nicht.”

  61. 61.

    (BBGA 2A8, p. 22): “Zur Abkürzung endlich werden wir uns in Fällen, wo eben kein Mißverstand zu besorgen stehet, erlauben, die Zahlenvorstellungen und Zahlenausdrücke auch schlechtweg Zahlen selbst zu nennen, u. dieß zwar zuweilen selbst dann, wenn es dergleichen dieser Vorstellung oder Zeichen entsprechende Zahlen in Wahrheit gar nicht gibt.”

  62. 62.

    (BBGA 2A8, p. 73 fn. u): “In allen diesen Abschnitten läßt sich Manches verkürzen, indem statt bloßer Zahlen, Größen überhaupt betrachtet werden.”

  63. 63.

    Here I agree with both Peter Simons and Russ about the translation of “Menge” as “multitude,” and not as “set,” which emphasizes its primitive meaning as a “bunch” of something and avoids its association with the set theory developed decades later (cf. Simons 1997, pp. 95–96; Russ 2004, pp. XXVIII–XXIX; see also Ferreirós 2007, pp. XX–XXI & 72–73).

  64. 64.

    The title is “Verhältnisse der Höhe zwischen den rationalen Zahlen.” In his translation of the seventh section of RZ, Russ translates “Höhe” as “order” (Russ 2004, p. 395). Undoubtedly, the notion of “height” involves a certain relation of order among the multitude of rational numbers. However, in order to provide a faithful account of Bolzano’s proposal and to avoid any possible—and misleading—set-theoretical interpretation, I opted not to translate “Höhe” as “order.” Similarly, and with regard to a paragraph of Bolzano’s Theory of Science (Wissenschaftslehre; henceforth WL) on the relation of subordination (Unterordnung), Jan Šebestík has translated “Höhe” as “hauteur” (Šebestík 1992, p. 177; cf. Bolzano 1837, p. 451). Later, Dedekind and Cantor were to use what they called the “height” (Höhe) of algebraic numbers in order to enumerate these latter (cf. Cantor 1874, pp. 259–260; Ferreirós 2007, pp. 178–180).

  65. 65.

    (BBGA 2A8, pp. 86, 90 & 92): “größer oder höher”; “kleiner oder niedriger”; “so gibt es jederzeit eine, die zwischen ihnen liegt”; “Die Menge der Rationalzahlen, die zwischen je zwey von einander verschiedenen Rationalzahlen A und Z eingeschaltet werden können, geht ins Unendliche.” Nowadays this can be expressed by saying that the set of rational numbers are densely ordered in the reals. Such an approach, however, is foreign to Bolzano’s proposal.

  66. 66.

    (BBGA 2A8, p. 87): “ich in dieser Zahlenlehre einmahl zu Grunde gelegt habe”; “bloße Zahlenvorstellungen”; “die keinen Gegenstand haben, weil es in der That keine Zahl gibt, die \( =\frac{3}{5} \) oder \( =\frac{2}{5} \) oder \( =\frac{1}{5} \) wäre.” Indeed, Bolzano once again acknowledges Ohm “for having first recognized this need for a particular conceptual determination [Begriffsbestimmung] of the signs > and < when applied to general numbers [allgemeine Zahlen]” (BBGA 2A8, p. 87). It should be noted that, in the paragraph that Bolzano refers to, Ohm discusses the relations of “being greater than” and “being smaller than” between “real numbers” (reele Zahlen), which for him, as he explained before, consisted of the integers, fractions and zero (Ohm 1828, pp. 123–124).

  67. 67.

    (BBGA 2A8, pp. 87 & 88): “was doch kein Mathematiker zugeben wird”; “endliche[r] elementare[r] Zahlenausdru[ck].”

  68. 68.

    The title is “Rationale Zahlen, die ins Unendliche zu- oder ab-nehmen können.”

  69. 69.

    (BBGA 2A8, p. 95): “verwechsel[t] [werden] mit den Begriffen einer unendlich großen und unendlich kleinen Zahl”; “eine Menge denke, die aus unendlich vielen Einheiten bestehet”; “die der Werthe unendlich viele und darunter auch solche annehmen kann, die größer als eine jede andere gegebene Zahl sind” (emphasis added in “bestehet” and “kann”).

  70. 70.

    It is interesting to note the subtle contrast between Bolzano’s stance on this issue and the proof of Dedekind’s theorem 66 in his Was sind und was sollen die Zahlen?, where the latter stated that “the totality S of all things that can be the object of my thought is infinite” (Dedekind 1888, p. 17): whereas for Dedekind this proves that there exist “infinite systems” (unendliche Systeme), as in the case of “my world of thoughts,” for Bolzano the number idea of one’s own clear ideas can increase to infinity but remains finite. Nevertheless, as Dedekind himself pointed out in a footnote with regard to (Bolzano 1851/1920, pp. 13–14), Bolzano does consider “infinite multitudes” (cf. Bolzano 1817a, pp. 4–6).

  71. 71.

    (BBGA 2A8, p. 95): “[d]ie Menge der klaren Vorstellungen, welche sich in dem Gemüthe eines Denkenden Wesens mit der Zeit ausbilden können, ist und bleibt immer endlich”; “die Menge der Punkte, die in einer gegebenen Linie liegen; und denken wir uns sonach diese Menge als eine Zahl; so bilden wir uns den (freylich sich selbst widersprechenden) Begriff einer unendlich großen Zahl.”

  72. 72.

    (BBGA 2A8, p. 97): “Willk. S. Zahlen, die ins Unendliche abnehmen können, wollen wir zur Abkürzung zuweilen durch Zeichen wie ω, Ω, ω1, ω2, u.s.w. andeuten.”

  73. 73.

    (BBGA 2A8, pp. 97 & 98): “Die algebraische Summe aus einer endlichen und unveränderlichen Menge von Rationalzahlen ω1, ω2, …ωn”; “Zu jeder unveränderlichen Rationalzahl A gibt es ein Paar veränderliche Zahlen, die sie als ihre Grenzen zwischen sich einschließen (d.h. deren die Eine höher, die andern niedriger ist) während sie selbst einander so nahe rücken können, als man nur immer will.”

  74. 74.

    The title is “Unendliche Größenbegriffe. (Größenausdrücke).”

  75. 75.

    (BBGA 2A8, p. 100): “die Menge aller wirklichen Zahlen.” A similar statement can be found in (Bolzano 1851/1920, p. 20).

  76. 76.

    (BBGA 2A8, p. 101): “eigenthümlichen Bestandtheile”; “und eben deßhalb für einen endlichen Verstand, wie es der unsrige ist, undenkbar.”

  77. 77.

    The full title of Bolzano’s work is Die drey Probleme der Rectification, der Complanation und der Cubirung, ohne Betrachtung des unendlich Kleinen, ohne die Annahmen des Archimedes, und ohne irgend eine nicht streng erweisliche Voraussetzung gelöst; zugleich als Probe einer gänzlichen Umstaltung der Raumwissenschaft, allen Mathematikern zur Prüfung vorgelegt.

  78. 78.

    (Bolzano 1817a, p. 4): “nach dem Gesetze der Stetigkeit ändern.” For Bolzano’s use of superscripts, cf. footnote 24.

  79. 79.

    (Bolzano 1817a, p. 6): “nur die Menge seine Theile unbestimmbar, nicht aber er selbst, wenn anders irgend ein Gesetz vorhanden ist, das jeden einzelnen aus diesen Theilen bestimmt”; “durch die bloße Angabe ihrer zwey Endpunkte und durch ein einziges Gesetz [...] bestimmt.”

  80. 80.

    (Bolzano 1851/1920, p. 21; cf. Russ 2004, p. 611): “Denn nach dem, in der Erklärung jener Reihe (§8) angegebenen Bildungsgesetze derselben hat jedes ihrer Glieder wieder ein folgendes.”

  81. 81.

    (BBGA 2A8, p. 102; cf. Russ 2004, pp. 358–359): “Lehrs. Unter den unendlichen Zahlenbegriffen gibt es auch einige, die von einer solchen Beschaffenheit sind, daß sich zu jeder beliebigen wirklichen Zahl q, die wir als Nenner eines Bruches betrachten wollen, ein Zähler p, der abermahls eine positive oder negative wirkliche Zahl, oder zuweilen auch eine Null ist, mit dem Erfolge auffinden läßt, daß wir die beyden Gleichungen erhalten \( S=\frac{p}{q}+P \) und \( S=\frac{p+1}{q}+{P}^1 \), in welchen das Zeichen S den unendlichen Zahlenausdruck, die P und P1 aber ein Paar durchaus positive Zahlenausdrücke oder das erstere zuweilen auch eine bloße Null bedeutet.”

  82. 82.

    (BBGA 2A8, pp. 103–104): “dieß Mittel zur Bestimmung unendlicher Zahlenbegriffe”; “unendlich vielen Verrichtungen.”

  83. 83.

    (BBGA 2A8, p. 104): “näherungsweise bestimmen oder messen”; “bis auf ein \( \frac{1}{q} \)”; “jeden, nicht nur unendlichen, sondern auch endlichen Zahlenausdrucke S.” Here I follow Russ’ translation of “ermeßlich” as “estimable”—in measure—and therefore of “unermeßlich” as “inestimable” (Russ 2004, p. 361). According to the corresponding entry in the last volume of the Deutsches Wörterbuch by Jacob and Wilhelm Grimm, “ermeszlich” meant “mensurabilis” (Grimm and Grimm 1862, p. 915).

  84. 84.

    A fundamental sequence a1,, a2, …an, ..... of rational numbers has the property that the difference |an + m − an| becomes as small as desired as n increases, b (a numerical quantity or Zahlengrösse) being the limit of the sequence and B (the totality of such numerical quantities) being the domain of real numbers (Cantor 1872, pp. 123–124).

  85. 85.

    A Dedekind’s cut decomposes all rational numbers into two classes, such that each rational number in the class to the left is smaller than each one in the class to the right, the cut being either a rational or an irrational number (Dedekind 1872, pp. 19–21).

  86. 86.

    (BBGA 2A8, pp. 105–107; cf. Russ 2004, pp. 361 & 363): “Jede Rationalzahl ist eine meßbare Zahl, und zwar läßt sich ein volles Maß für sie angeben”; “Ist A meßbar, so ist auch –A meßbar”; “gibt es [...] nicht zwey von einander verschiedene Zahlen p1 und p2, welche als Zähler des messenden Bruches.”

  87. 87.

    (BBGA 2A8, pp. 112–113): “Unter den unendlichen Zahlenbegriffen gibt es auch einige”; “vorstell[en]”; “unendlich kleine”; “nach den bisherigen Begriffen.”

  88. 88.

    (BBGA 2A8, p. 113): “bey dem versuchten Geschäfte des Messens”; “die beyden Gleichungen \( S={P}^1=\frac{1}{q}-{P}^2 \) bestehen, q werde so groß als man nur immer will genommen.” Bolzano introduces the denomination of “infinitely small negative number” (unendlich kleine negative Zahl) and its corresponding measuring equations in this very same paragraph.

  89. 89.

    (BBGA 2A8, pp. 112–114): “Unter den unendlichen Zahlenbegriffen gibt es auch einige”; “bey dem versuchten Geschäfte des Messens [...] für welche die beyden Gleichungen \( S={P}^1=\frac{1}{q}-{P}^2 \) bestehen, q werde so groß als man nur immer will genommen”; “für jedes q wohl ein p gibt, das Einer der beyden Gleichungen \( S=\frac{p}{q}+{P}^1=\frac{p+1}{q}-{P}^2 \), keines aber, das beyden zugleich entspräche.”

  90. 90.

    (BBGA 2A8, p. 128): “nach unsern bisherigen Begriffen.”

  91. 91.

    (BBGA 2A8, p. 128; cf. Russ 2004, p. 390): “auf einen Bruch von der Form \( +\frac{m}{n} \) bringen läßt, wo m und n wirkliche Zahlen bedeuten.”

  92. 92.

    (BBGA 2A8, p. 131): “zu jedem beliebigen q immer dasselbe positive oder negative p für beyde Ausdrücke A und B vorfindet, welches die Gleichungen \( A=\frac{p}{q}+{P}^1=\frac{p+1}{q}-{P}^2 \) und \( B=\frac{p}{q}+{P}^3=\frac{p+1}{q}-{P}^4 \) erfüllet.”

  93. 93.

    (BBGA 2A8, p. 130): “Zahlen, die sich nur um ein unendlich Kleines unterscheiden, können sich bei dem Geschäfte des Messens verschiedentlich verhalten.”

  94. 94.

    (BBGA 2A8, p. 130): “bei jedem messenden Bruche q, den Zähler p = q, und p = q − 1 geben.”

  95. 95.

    (BBGA 2A8, p. 130): “absolut betrachtet”; “wie Null sich verhält”; “man zu Jedem auch noch so großen Nenner q den Zähler des messenden Bruches =0 findet, und somit [...] daß A = B sey.”

  96. 96.

    (BBGA 2A8, p. 136): “bey dem Geschäfte des Messens”; “Null gleichgelten”; “relative oder beziehungsweise Null.”

  97. 97.

    Previously, Rusnock posed the example of “\( 1-\frac{3}{2}+\frac{3}{4}-\frac{3}{8}+\frac{3}{16}-\dots +\frac{3\bullet {\left(-1\right)}^n}{2^n} \) which gives rise to the sequence of values \( 1,-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},\frac{1}{16},\dots, {}^{"} \) a sequence that converges to zero and that would not be measurable even though “it can be obtained as the sum or difference of two expressions each of which is measurable” (Rusnock 2000, p. 182).

  98. 98.

    For similar stance with regard to both the modern post-Weierstraßian and nonstandard interpretations of Augustin-Louis Cauchy’s analytical proposal, cf. (Lützen 2003, p. 164).

  99. 99.

    (BBGA 2A8, p. 168): “Zur Lehre von den meßbaren Zahlen

    Sollte die Lehre von den meßbaren Zahlen nicht vielleicht vereinfacht werden können, wenn man die Erklärung derselben so errichtet, daß A meßbar heißt, wenn man 2 Gleichungen von der Form, \( A=\frac{p}{q}+P=\frac{p+n}{q}-P \) hat, wo bey einerlei n, q ins Unendliche zunehmen kann?”

  100. 100.

    (Laugwitz 1965, p. 407): “Ein Ausdruck A heißt meßbar, wenn es zu jeder natürlichen (oder „wirklichen“) Zahl q eine ganze Zahl p = p(q) gibt, so daß \( \frac{p}{q}<A\frac{p+2}{q} \).”

  101. 101.

    (BBGA 2A8, p. 168 fn. 77): “entspricht nun eine Folge S (=〈Sn〉) von rationalen Zahlen derart, daß es für jede natürliche Zahl q eine ganze Zahl p(q, S) gibt, so daß für alle n gilt: \( {S}_n=\frac{p\left(q,S\right)}{q}+{P}_n\left(q,S\right)=\frac{p\left(q,S\right)+m}{q}-{P}_n\left(q,S\right) \), wobei m eine natürliche Zahl und 〈Pn(q, S)〉 eine rein positive Folge ist.”

  102. 102.

    Russ and Trlifajová base the second interpretation on an example provided by Bolzano in §45, “which could be interpreted as non-monotonic sequences,” namely “\( A+B=\frac{p^1+{p}^2}{q}+\frac{1}{q}-{\Omega}^1+{P}^{13}=\frac{p^1+{p}^2+2}{q}-\frac{1}{q}+{\Omega}^2-{P}^{14},{}^{"} \) from which “\( A+B=\frac{p^1+{p}^2+1}{q} \)” (there would be a mistake here, either in the manuscript or in the 1976 edition, since the numerator is written “p1 + p1 + 1”; BBGA 2A8, p. 123; Russ and Trlifajová 2016, pp. 50–51; Russ 2004, p. 384).

  103. 103.

    (Spalt 1991, p. 68): “Sie [Bolzano’s Zahlenlehre] muß nur in ihrem eigenen Recht verstanden werden.”

  104. 104.

    (Šebestík 1992, p. 358): “l’historien doit de prime abord restituer une théorie du passé dans sa spécificité, y compris dans ses particularités stylistiques; c’est ensuite seulement qu’il peut tenter un rapprochement avec la pratique mathématique de notre temps.”

  105. 105.

    (BBGA 2A8, p. 137; cf. Russ 2004, p. 396): “wir selbst nach den jetzt aufgestellten weiteren Begriffen nicht berechtiget sind”; “der Unterschied B − A = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − . . in inf.”; “beliebiger Ausdruck.”

  106. 106.

    (BBGA 2A8, p. 142; Russ 2004, p. 403): “die Beschaffenheit B allen meßbaren Zahlen von L bis zu R ein- oder ausschließlich zukommen soll.” Bolzano’s formulation of this theorem contains a fairly subtle mistake since, strictly speaking, he says at the beginning of the paragraph that if L and R are infinitely great numbers, with one of them positive and the other negative, and the property B belongs “to all measurable numbers from L to R, inclusively or exclusively,” then it belongs to all measurable numbers. However, it is clear that L and R cannot be counted among the measurable numbers and thus L and R cannot be included among “all measurable numbers.”

  107. 107.

    (BBGA 2A8, pp. 137 & 139): “Wenn A > B und B > C, so ist auch A > C”; “entweder A = B oder A > B oder A < B.”

  108. 108.

    In her presentation at the symposium “Bolzano’s Mathematics and the General Methodology of the Sciences,” which was organized by Steve Russ and held as part of the 16th CLMPST, in Prague, Anna Bellomo examined §107 and provided appealing evidence in favor of a non-set-theoretical interpretation of RZ by focusing on Bolzano’s reasoning “in terms of parts and wholes.”

  109. 109.

    (Bolzano 1837, p. 474): “unendlichen Reihe von Begriffen”; “ist also jeder folgende immer den vorhergehenden untergeordnet.”

  110. 110.

    (Bolzano 1817a, p. 23): “für Jeden, der einen richtigen Begriff von Größe hat, [...] daß der Gedanke eines i, welches das größte derjenigen ist, von denen gesagt werden mag, daß alle unter ihm stehende die Eigenschaft M besitzen, der Gedanke einer reellen d.h. wirklichen Größe sei.”

  111. 111.

    (Šebestík 1992, p. 353): “Lorsque nous parlerons de la représentation bolzanienne des «grandeurs mesurables», on devra se rappeler la décomposition des nombres irrationnels selon Kästner.”

  112. 112.

    (Kästner 1786, pp. 126–127; cf. Šebestík 1992, pp. 352–353): “Irrationalzahlen, die von Wurzeln herrühren, kann man sich, so weit man will, nähern”; “eine unzählige Menge unendlich kleiner Theile.”

  113. 113.

    In the mid-1810s, Bolzano explicitly rejected such an approach, which was still common at the turn of the nineteenth century (cf. van Rootselaar 1995, p. 28; Šebestík 1992, p. 355), because otherwise “one would arrive at the consideration of the infinite” (“käme man da in die Betrachtung des Unendlichen”; BBGA 2B6/2, p. 195).

  114. 114.

    (Kästner 1786, p. [4]): “Alle Begriffe der Arithmetik gründen sich meines Erachtens auf die von ganzen Zahlen.” Cf. (Šebestík 1992, pp. 52 & 54).

  115. 115.

    (Epple 1996, pp. 6–7; cf. Hankel 1867, p. 47): “die britische Tradition Peacocks und de Morgans”; “Das Irrationale verlangt zu seiner systematischen Fassung den Grössenbegriff.”

  116. 116.

    The third and fourth sections of Hankel’s work are entitled “Die reellen Zahlen in ihrem formalen Begriffe” and “Die reellen Zahlen in der Grössenlehre”, respectively (Hankel 1867, pp. 35 & 48), while the full title of that work is Theorie der complexen Zahlensysteme insbesondere der gemeinen imaginären Zahlen und der Hamilton’schen Quaternionen nebst ihrer geometrischen Darstellung.

  117. 117.

    (Dedekind 1888, p. X): “die shrittweise Erweiterung der Zahlbegriffes”; “fremdartiger Vorstellungen”; “der meßbaren Größen.”

  118. 118.

    (Dedekind 1888, p. XIV): “diese uralte Ueberzeugung”; “die irrationale Zahl als Verhältniß meßbarer Größen auffaßt”; “die Quelle.”

  119. 119.

    (Dedekind 1888, pp. XIII–XIV): “die Entwickelung eines von Herrn J. Bertrand herrührenden Gedankens nennt, welcher in dessen Traité d’arithmétique enthalten sei und darin bestehe, eine irrationale Zahl zu definiren durch Angabe aller rationalen Zahlen, die kleiner, und aller derjenigen, die größer sind als die zu definirende Zahl.”

  120. 120.

    (Bertrand 1849, pp. 204–205): “nombre incommensurable”; “est nécessairement compris entre deux d’entre eux, \( \frac{x}{n} \) et \( \frac{x+1}{n} \), et l’on peut prendre n assez grand, pour que leur différence \( \frac{1}{n} \) soit aussi petite qu’on le voudra.”

  121. 121.

    (Dedekind 1888, pp. XIV–XV): “sie sogleich ihre Zuflucht zu der Existenz einer meßbaren Größe nimmt”; “einige so wesentliche Lücken darzubieten.”

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Acknowledgments

The author would like to thank Steve Russ, José Ferreirós and Carlos Álvarez for their very helpful remarks and suggestions, as well as Michèle Friend and Bharath Sriraman for all their support for the publication of this chapter. He would also like to thank Davide Crippa for his help in obtaining some of the documents cited in this chapter, as well as Alejandrina Viesca Ramírez for her careful revision of it and Alexander Reynolds for his excellent proofreading.

Funding

This chapter was made possible thanks to the support by the Postdoctoral Scholarship Program of the Dirección General de Asuntos del Personal Académico (DGAPA) and the Faculty of Sciences at Universidad Nacional Autónoma de México, as well as thanks to the support for the grant project “Mathematics in the Czech Lands: From the Jesuit Teaching to Bernard Bolzano” (GA ČR 19-03125Y) and the support by the Centre for Science, Technology and Society Studies of the Filosofický ústav Akademie věd České republiky.

Author information

Authors and Affiliations

  1. Institute of Philosophy of the Czech Academy of Sciences, Prague, Czech Republic

    Elías Fuentes Guillén

  2. Department of Mathematics, Faculty of Sciences, UNAM, Mexico City, Mexico

    Elías Fuentes Guillén

Authors
  1. Elías Fuentes Guillén
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Editor information

Editors and Affiliations

  1. Department of Mathematical Sciences, The University of Montana, Missoula, MT, USA

    Bharath Sriraman

Section Editor information

  1. University of New Mexico, Albuquerque, NM, USA

    Paul Livingston

  2. Department of Mathematical Sciences, University of Montana, Missoula, MT, USA

    Bharath Sriraman

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© 2022 Springer Nature Switzerland AG

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Fuentes Guillén, E. (2022). Bolzano’s Theory of meßbare Zahlen: Insights and Uncertainties Regarding the Number Continuum. In: Sriraman, B. (eds) Handbook of the History and Philosophy of Mathematical Practice. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-19071-2_96-2

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  1. Latest

    : Insights and Uncertainties Regarding the Number Continuum
    Published:
    17 March 2022

    DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-19071-2_96-2

  2. Original

    : Insights and Uncertainties Regarding the Number Continuum
    Published:
    27 November 2021

    DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-19071-2_96-1

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