0310815 - ÚFCH JH 2009 RIV UA eng J - Journal Article
Saniga, M. - Havlicek, H. - Planat, M. - Pracna, Petr
Twin "Fano-Snowflakes" Over the Smallest Ring of Ternions.
[Dvojčata "Fano sněhových vloček" nad nejmenším okruhem ternionů.]
Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. Roč. 4, - (2008), 050-1-7. ISSN 1815-0659
Institutional research plan: CEZ:AV0Z40400503
Keywords : geometry over rings * non-communicative ring of order eight * Fano plane
Subject RIV: CF - Physical ; Theoretical Chemistry

Given a finite associative ring with unity, R, any free (left) cyclic submodule (FCS) generated by a unimodular (n + 1)-tuple of elements of R represents a point of the n-dimensional projective space over R. Suppose that R also features FCSs generated by (n + 1)-tuples that are not unimodular: what kind of geometry can be ascribed to such FCSs? Here, we (partially) answer this question for n = 2 when R is the (unique) non-commutative ring of order eight. The corresponding geometry is dubbed a "Fano-Snowflake" due to its diagrammatic appearance and the fact that it contains the Fano plane in its center. There exist, in fact, two such configurations - each being tied to either of the two maximal ideals of the ring - which have the Fano plane in common and can, therefore, be viewed as twins. Potential physical relevance of these noteworthy configurations for quantum information theory and stringy black holes is also outlined.

Pro konečný asociativní okruh s jednotkou, R, představuje jakýkoliv (volný) cyklický submodul (free cyclic submodule FCS) generovaný unimodulární (n+1)-ticí prvků R bod n-dimenzionálního projektivního prostoru nad R. Přepokládáme-li, že R obsahuje rovněž FCS generované neunimodulárními (n+1)-ticemi, naskýtá se otázka, jaká geometrie může být takovým FCS připsána. V této práci (částečně) zodpovídáme otázku pro případ n=2 a R jako (jediný) nekomutativní okruh řádu osm. Odpovídající geometrii jsme nazvali jako „Fano sněhovou vločku“ podle jejího grafického znázornění, které ve svém středu obsahuje Fano rovinu. Ve skutečnosti existují dvě takové konfigurace, nichž každá je svázána s maximálním ideálem okruhu. Tyto ideály mají společnou právě Fano rovinu, a proto mohou být chápána jako "dvojčata". Nastiňujeme rovněž potenciální důležitost těchto pozoruhodných konfigurací pro teorii kvantové informace a strunových černých děr.
Permanent Link: http://hdl.handle.net/11104/0162578