Approximation of quantum graph vertex couplings by scaled Schrodinger operators on thin branched manifolds

0330854 - ÚJF 2010 RIV GB eng J - Journal Article
Exner, Pavel - Post, O.
Approximation of quantum graph vertex couplings by scaled Schrodinger operators on thin branched manifolds.
[Aproximace vazeb ve vrcholech kvantových grafů škálovanými Schrödingerovými operátory na tenkých rozvětvených varietách.]
Journal of Physics A-Mathematical and Theoretical. Roč. 42, č. 41 (2009), 415305/1-415305/22. ISSN 1751-8113. E-ISSN 1751-8121
R&D Projects: GA MŠMT LC06002
Institutional research plan: CEZ:AV0Z10480505
Keywords : convergence * scattering * spectra
Subject RIV: BE - Theoretical Physics
Impact factor: 1.577, year: 2009

We discuss approximations of vertex couplings of quantum graphs using families of thin branched manifolds. We show that if a Neumann-type Laplacian on such manifolds is amended by suitable potentials, the resulting Schrodinger operators can approximate non-trivial vertex couplings. The latter include not only the delta-couplings but also those with wavefunctions discontinuous at the vertex. We work out the example of the symmetric delta'-couplings and make a conjecture that the same method can be applied to all couplings invariant with respect to the time reversal. We conclude with a result that certain vertex couplings cannot be approximated by a pure Laplacian.

Diskutujeme aproximace vrcholových vazeb kvantových grafů pomocí soustav tenkých rozvětvených trubek. Ukazujeme, že pokud Neumannův Laplacián na takové varietě je doplněn vhodným potenciálem, mohou výsledné Schrödinger operátory aproximovat netriviální vazbu ve vrcholu. Tato vazba zahrnuje nejen delta-vazby, ale i vazby s vlnovými funkcemi nespojitými ve vrcholu. Ukazujeme příklad symetrické delta'-vazby a domníváme se, že stejná metoda může být použita na všechny vazby invariantní vzhledem k obrácení času. Došli jsme k závěru, že některé vazby ve vrcholech nelze aproximovat pouhým Laplacianem.
Permanent Link: http://hdl.handle.net/11104/0176541