The Regularizing Effect of the Golub-Kahan Iterative Bidiagonalization and Revealing the Noise Level in the Data

0329240 - ÚI 2010 RIV SE eng J - Journal Article
Hnětynková, Iveta - Plešinger, Martin - Strakoš, Zdeněk
The Regularizing Effect of the Golub-Kahan Iterative Bidiagonalization and Revealing the Noise Level in the Data.
[Regularizační efekt Golub-Kahanovy bidiagonalizace a vyjevování hladiny šumu v datech.]
Bit. Roč. 49, č. 4 (2009), s. 669-696. ISSN 0006-3835. E-ISSN 1572-9125
R&D Projects: GA AV ČR IAA100300802
Institutional research plan: CEZ:AV0Z10300504
Keywords : ill-posed problems * Golub-Kahan iterative bidiagonalization * Lanczos tridiagonalization * noise revealing
Subject RIV: BA - General Mathematics
Impact factor: 0.648, year: 2009

Regularization techniques based on the Golub-Kahan iterative bidiagonalization belong among popular approaches for solving large ill-posed problems. First, the original problem is projected onto a lower dimensional subspace using the bidiagonalization algorithm, which by itself represents a form of regularization by projection. The projected problem, however, inherits a part of the ill-posedness of the original problem, and therefore some form of inner regularization must be applied. Stopping criteria for the whole process are then based on the regularization of the projected (small) problem. In this paper we consider an ill-posed problem with a noisy right-hand side (observation vector), where the noise level is unknown. We show how the information from the Golub-Kahan iterative bidiagonalization can be used for estimating the noise level. Such information can be useful for constructing efficient stopping criteria in solving ill-posed problems.

Regularizační techniky založené na Golub-Kahanově iterační bidiagonalizaci náleží mezi populární přístupy k řešení rozsáhlých, špatně podmíněných úloh. Nejprve je původní problém projektován do prostoru nižší dimenze pomocí bidiagonalizačního algoritmu, ten sám o sobě realizuje regularizaci pomocí projekce. Projektovaný problém ovšem získá určité vlastnosti původního problému a tudíž je stále špatně podmíněný. Při jeho řešení tedy musí být využita nějaká další regularizační technika (vnitřní regularizace). Zastavení celého procesu je řízeno zastavovacím kritériem, které závisí na regularizovaném řešení projektovaného (malého) problému. V tomto článku uvažujeme špatně podmíněný problém jehož pravá strana obsahuje šum, přičemž hladina šumu (odstup signálu od šumu) není známa. Ukážeme jak využít informace z Golub-Kahanovy iterační bidiagonalizace pro odhad hladiny šumu. Taková informace může být užitečná při tvorbě efektivního zastavovacího kritéria pro řešení špatně podmíněných úloh.
Permanent Link: http://hdl.handle.net/11104/0175331