Součet úhlů ve čtyřstěnu

0444826 - MÚ 2016 RIV CZ cze J - Journal Article
Brandts, J. - Cihangir, A. - Křížek, Michal
Součet úhlů ve čtyřstěnu.
[The sum of angles in a tetrahedron.]
Pokroky matematiky, fyziky & astronomie. Roč. 60, č. 2 (2015), s. 113-122. ISSN 0032-2423
R&D Projects: GA ČR GA14-02067S
Institutional support: RVO:67985840
Keywords : dihedral angle * solid angle * nonobtuse tetrahedron * optimal bounds
Subject RIV: BA - General Mathematics
http://hdl.handle.net/10338.dmlcz/144405

Kolik je součet úhlů v rovinném trojúhelníku? Odpověď je dobře známá: 180°, tj pí radiánů. Méně je ovšem známá odpověď na podobnou otázku pro čtyřstěn. V tomto článku nejprve podáme přehled klasických výsledků z článku [5] J.W. Gadduma, že pro součet dihedrálních úhlů měřených v radiánech mezi stěnami čtyřstěnu platí 2pí<suma<3pí a pro součet A prostorových úhlů ve steradiánech ve vrcholech je 0<A<2pí. Ukážeme, že tyto odhady jsou optimální v tom smyslu, ze je nelze zlepšit. Podle [1] však pro netupoúhlé čtyřstěny platí lepší odhady 2pí<suma<2,5pí a 0<A<pí. Takové čtyřstěny mají celou řadu důležitých aplikací - viz [3].

We show that the sum of dihedral angles in an arbitrary tetrahedron is greater than 2pi and less then 3pi. For a nonobtuse tetrahedron the upper bound can be reduced to 5pi/2. We also prove that the sum of solid angles in an arbitrary tetrahedron is less than 2pi, whereas for a nonobtuse tetrahedron it is only pi. All the above bounds are optimal in the sense that they cannot be improved.
Permanent Link: http://hdl.handle.net/11104/0247292